Franciszek Gąsior był zawodnikiem wielopozycyjnym, grał jako skrzydłowy (lewy oraz prawy), kołowy i rozgrywający. Reprezentował barwy takich klubów jak MKS Pałac Młodzieży Tarnów (1961-1970), Stal Mielec (1970-1977), Unia Tarnów (1977-1983) oraz austriacki Raupach Bruck an der Mur (1983-1984). Wraz z klubem MKS Pałac Młodzieży Tarnów zdobył tytuł wicemistrza Polski młodzików (1962), wywalczył brązowy medal mistrzostw Polski juniorów (1965), a także uzyskał awans do drugiej ligi (1968). Największe sukcesy odnosił w Stali Mielec, z którą zdobył Puchar Polski (1971), a także tytuł wicemistrza kraju (1975). Nazywany najlepszym zawodnikiem w historii tarnowskiej piłki ręcznej. W trakcie całej swojej kariery sportowej nie doznał ani jednej kontuzji. Jego trenerami byli: Stanisław Majorek, Edward Strząbała oraz Stanisław Kubala.

W latach 1969–1972 wchodził w skład reprezentacji Polski w piłce ręcznej mężczyzn, w której rozegrał 36 meczów i zdobył 24 bramki. W 1972 zakwalifikował się do składu reprezentacji Polski na igrzyska olimpijskie organizowane w Monachium, podczas których wystąpił w spotkaniu z Islandią. Wraz z drużyną zajął dziesiąte miejsce. W roku 1973 został odznaczony tytułem Mistrza Sportu.

Po zakończeniu kariery sportowej pracował jako nauczyciel oraz trener w klubach MKS Pałac Młodzieży Tarnów i Unia Tarnów.